TEMA 17. Perpendicularidad entre dos rectas.
Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, obtén la gráfica de las siguientes ecuaciones.
Y=-2X+1
Y= (1/2)X-3
Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que ves en la imagen de al lado.
Haz lo mismo con el siguiente par de ecuaciones que representan rectas. Obtén su gráfica y procede a realizar un a-ná-li-sis de la misma y de las dos ecuaciones.
Y=3X+4
Y=- (1/3)X+1
¿Qué observas en la gráfica?
¿Acaso las rectas se cruzan formando ángulos de 90º lo que significaría que son perpendiculares entre si?
Ahora bien, analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿puedes observar algo similar entre ellas? Olvídate del cuatro y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X. Tienes que encontrar una relación entre los dos números.
Antes de dar un “Click” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que es común en ambas ecuaciones…
Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente…
1). Los coeficientes de X son inversos.
2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.
Resulta que cuando dos ecuaciones de la forma: Y=mX+b tienen su coeficiente para la X, inverso y de signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficiente con el análisis que hiciste?
A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y comprobaremos lo que descubriste.
Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente has descubierto una propiedad entre dos rectas?
Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo).
Para el primer par de ecuaciones, sabemos que: m1=-2 y m2=1/2 que son las pendientes de ambas ecuaciones.
De lo que hemos visto anteriormente: si hacemos tg α = m1, e igual tg α = m2, con ambas expresiones podemos determinar los ángulos que tienen las dos rectas respecto del eje de las X.
Para la primera expresión: Tg α = m1; α =tg-1(-2)=-63.43º
Para la segunda expresión: Tg α = m2; α =tg-1(1/2)=26.56º
Por el punto de cruce de ambas rectas traza una paralela al eje X.
El primer ángulo (-63.43º, recta gris) se abre en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que el otro (26.56º recta roja) se abre en sentido contrario a las manecillas del reloj. Suma ambos ángulos -sin atender al signo- para ver el ángulo que hay entre ambas rectas y te darás cuenta de que existe un ángulo aproximado de 90º. Si al sumar, utilizamos todos los decimales de cada ángulo resultan los 90º exactamente.
E ahí la comprobación. Entonces, concluyamos ahora con mayor seguridad.
Cuando las pendientes de dos rectas son reciprocas e inversas de signo contrario, ambas rectas son PERPENDICULARES entre si.
A esa conclusión llegó Don René Descartes después de varios años de estudiar ecuaciones, y a eso mismo llegaste tú en unos minutos, mira que hemos avanzado…
Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios. Determina analiticamente los pares de ecuaciones que representan rectas perpendiculares.
1.) Y=4X-2
2.) Y=(1/6)X+2
3.) Y=-(1/4)X-1
4.) Y=(2/5)X+5
5.) Y=-6X-3
6.) Y=(5/2)X+6
7.) Y=-(2/5)X+2
8.) Y=2X+3
9.) Y=(2/3)X+1
10.) Y=-(3/2)X-10
© Ing. I. Guerrero Z.
